DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP
SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG GIẢI TOÁN

I. NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
1. Đa giác lồi.
2. Đa giác đều
3. Tổng các góc trong đa giác n cạnh là (n – 2). 1800
4. Số đường chéo của một đa giác n cạnh là

5. Tổng các góc ngoài của một đa giác n cạnh là 3600
6. Trong một đa giác đều, giao điểm O của hai đường phân giác của hai góc là tâm của đa giác đều. Tâm O cách đều các đỉnh, cách đều các cạnh của đa giác đều, có một đường tròn tâm O đi qua các đỉnh của đa giác đều gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
7. Diện tích tam giác:

(a: cạnh đáy; h: chiều cao tương ứng)

( a = AB; b = CA )
8. Diện tích hình chữ nhật
S = ab
9. Diện tích hình vuông
S = a2
10. Diện tích hình bình hành
S = ah (h là chiều cao kẻ từ một đỉnh đến cạnh a)
11. Diện tích hình thoi

(AC; BD là hai đường chéo)
12. Diện tích hình thang

(AB, CD là hai đáy; AH: chiều cao)
13. Một số kết quả cần nhớ
a). SABM = SACM ( AM là trung tuyến tam giác ABC)
b). AA’ // BC => SABC = SA’BC
c).
(D thuộc BC của tam giác ABC)
d)
(AH; DK là đường cao của tam giác ABC và DBC)
e)
(M thuộc BC; N thuộc AC của tam giác ABC)
II. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH: Sử dụng công thức tính diện tích để thiết lập mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng
- Ta đã biết một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi ….. khi biết độ dài của một số yếu tố ta có thể tính được diện tích của nhữnh hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình chẳng hạn biết diện tích của hai tam giác bằng nhau và có hai đáy bằng nhau thì suy ra được các chiều cao tương ứng bằng nhau. Như vậy các công thức diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Sử dụng các công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng.
- Để so sánh độ dài các đoạn thẳng bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:
1. Xác định quan hệ diện tích giữa các hình
2. Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
3. Biến đổi các đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
Bài 1:
Cho tam giác đều ABC. Từ điểm O ở trong tam giác ta vẽ
;
;
. Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OI + OK không đổi.
Giải
Gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là a, chiều cao h
Ta có:







(không đổi)
Nhận xét :
- Có thể giải ví dụ trên bằng cách khác nhưng không thể ngắn gọn bằng phương pháp diện tích như đã trình bày.
- Bài toán trên vẫn đúng nếu O thuộc cạnh của tam giác đều
- Nếu thay tam giác đều bởi một đa giác bất kỳ thì tổng các khoảng cách từ O đến cách cạnh cũng không thay đổi.
Bài 2:
Chứng minh định lý Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông:
Giải:
- Dựng ra phía ngoài
các hình vuông BCDE; ABFG; ACMN
- Muốn chứng minh
ta phải chứng minh

- Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE tại K. ta sẽ chứng minh
và

- Nối AE; CF

(c-g-c)
(1)

và hình vuông ABFG có chung đáy BF, đường cao ứng với đáy này bằng nhau (là AB)

(2)
Tương tự:
(3)
Từ (1); (2) và (3)

Chứng minh tương tự ta được:

Do đó:


(đpcm)




Nhận xét:
- Điểm mấu chốt trong cách giải trên là vẽ hình phụ: vẽ thêm ba hình vuông.
Ta phải chứng minh:
mà BC2; AB2; AC2 chính là diện tích của các hình vuông có cạnh lần lượt là BC; AB; AC.
-